Lösung Winkelberechnung Ikosaeder-Streben:

Zu errechnen ist der Winkel in dem die Kantenrohre für einen Ikosaeder gesägt werden müssen, wenn die Verbindungsstücke die räumlichen Winkelhalbierenden der Ecken darstellen. Die räumlichen Winkelhalbierenden aller Ecken treffen sich im Zentrum des Körpers. Betrachten wir eine Ecke so erkennen wir, dass diese mit den ihr angeschlossenen Kanten und deren Verbindungskanten an den anderen Enden eine 5eck-Pyramide bildet. Betrachten wir nun nur diese 5eck-Pyramide. Stellen wir die Pyramide in Gedanken auf die Basis und schauen von oben auf ihre Spitze. Denken wir uns einen Kreis um die 5 Basis-Ecken. Diese Ansicht ist im oberen Teil des Bildes dargestellt. Setzen wir nun den Radius des Umkreises zu 1, wie lang ist dann eine Seite des umschlossenen regelmäßigen 5-Ecks? Da die Pyramide im Raum aus gleichseitigen Dreiecken besteht, wir aber die Projektion auf die Ebene betrachten, ist jedes der 5 Dreiecke dort nicht mehr gleichseitig bzw. gleichwinklig sondern nur noch gleichschenklig. Wir kennen den zentralen Winkel, der 360° dividiert durch 5 beträgt, also jeweils 72°. Zerlegen wir nun eines dieser Dreiecke (dickes eingezeichnetes Dreieck) in zwei rechtwinklige Dreiecke indem wir auf die Außenkante die Senkrechte fällen, so können wir die Winkelfunktionen und den Satz des Pythagoras anwenden. Wir kennen den zentralen Winkel, nämlich die oben erwähnten 72° aufgeteilt in zwei gleiche Winkel, also je 36°. Außerdem kennen wir die Hypotenuse, diese ist der Radius des Umkreises, also 1. Somit können wir über die Sinus-Funktion die kurze Kathete (Gegenkathete) errechnen und bekommen einen Wert von gerundet 0,588. Die Kantenlänge des Basis-5ecks beträgt das doppelte also etwa 1,176. Nun haben wir alle Angaben um in die 3. Dimension zu gehen, dazu betrachten wir den unteren Teil der Abbildung. Dies ist die Ansicht der Pyramide, wenn man aus Richtung "unten" gegen die oben gezeichnete Pyramide schaut. Konzentrieren wir uns auf das rechte der beiden rechtwinkligen Dreiecke. Da man senkrecht auf die Ebene der schrägen Kante schaut ist diese hier unverzerrt dargestellt, sie hat also eine Länge von 1,176 (eine Seite eines gleichseitigen Dreiecks, die Seitenlänge haben wir eben schon berechnet). Die Basis ist hier der Radius des Umkreises also 1. Wir kennen also die Hypotenuse (1,176) und die Gegenkathete (1) des rechtwinkligen Dreiecks, können also wieder über den Sinus-Satz den Winkel "alpha" errechnen. Dieser beträgt gerundet 58,25° und ist der für das sägen der Kantenrohre gesuchte Winkel.

 

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